\subsection{第一型曲面积分}

	\begin{ti}
		设 $\varSigma$ 是 $yOz$ 平面上的圆域 $y^{2} + z^{2} \leq 1$，则 $\iint_{\varSigma} \bigl( x^{2} + y^{2} + z^{2} \bigr) \dd{S} = $\kuo.

		\fourch{$0$}{$\uppi$}{$\frac{1}{4}\uppi$}{$\frac{1}{2}\uppi$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\varSigma$ 为球面 $(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 1)^{2} = 1$，则 $\iint_{\varSigma} (2x + 3y + z) \dd{S} = $\kuo.
		
		\fourch{$4\uppi$}{$2\uppi$}{$\uppi$}{$0$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $S$ 为椭球面 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1$，已知 $S$ 的面积为 $A$，则第一型曲面积分 $\iint_{S} \bigl[ (2x + 3y)^{2} + (6z - 1)^{2} \bigr] \dd{S} = $
		
		\noindent\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $S$ 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 被锥面 $z = \sqrt{Ax^{2} + By^{2}}$ 截下的小的那部分，并设其中 $A, B, R$ 均为正常数且 $A \ne B$，则第一型曲面积分 $\iint_{S} z \dd{S} = $

		\noindent\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\varSigma$ 是正圆锥面 $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (0 \leq z \leq 1)$，则曲面积分 $\iint_{\varSigma} z \dd{S} = $\kuo.

		\fourch{$\frac{2\sqrt{2}}{3}\uppi$}{$\frac{\sqrt{2}}{3}\uppi$}{$\sqrt{2}\uppi$}{$\uppi$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		空间曲面 $z = xy$ 被圆柱体 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ 所截部分的面积 $A = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\varSigma$ 为球面：$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$，则第一类曲面积分 $\iint_{\varSigma} x (4x - z) \dd{S} = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		计算曲面积分 $I = \iint_{\varSigma} (ax + by + cz + d)^{2} \dd{S}$，其中 $\varSigma$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\varSigma$ 为平面 $y + z = 5$ 被柱面 $x^{2} + y^{2} = 25$ 所截得的部分，计算曲面积分 $I = \iint_{\varSigma} (x + y + z) \dd{S}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		计算 $\iint_{S} x^{2} \dd{S}$，其中 $S$ 为圆柱面 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 介于 $z = 0$ 和 $z = h$ 之间的部分.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设半径为 $R$ 的球的球心位于以原点为中心、$a$ 为半径的定球面上($2a > R > 0$，$a$ 为常数). 试确定 $R$ 为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值.
	\end{ti}